1. Ukuran sebuah ruang
adalah 10 meter x 12 meter x 14 meter. Seekor lalat mulai terbang dari salah
satu pojok dan berakhir pada pojok yang lain yang berseberangan secara
diagonal. Tentukan:
a. Besar pergeserannya
b. Pilihlah suat sistem
koordinat yang cocok, lalu tentukanlah komponen-komponen vektor pergeseran
dalam kerangka ini
c. Seandainya lalat itu
tidak harus terbang, melainkan berjalan. Tentukan jarak terpendek lintasan yang
harus ditempuh
Penyelesaian:
b. Untuk ruangan yang diorientasikan di atas dan
pemilihan pojok yang ditunjuk adalah:
c. Agar lalat mempunyai
pilihan sampai pada dinding yang dituju maka (perhatikan garis-garis
tambahannya saja). Panjang lintasan totalnya adalah:
L
= (a2 + x2)1/2 + [(b – x)2 + c2]
Untuk mencari lintasan terpendek buatlah dl/dx = 0,
sehingga akan didapatan hasil:
(c2
– a2)x2 + 2a2bx – a2b2 =
0
Kedua penyelesaian yang didapat dari rumus kuadrat tersebut
adalah:
x1 = ab/(a-b) dan
x2 = ab/(a+b)
Sudah diketahui
bahwasannya x adalah jarak, sehingga harus menghasilkan nilai yang positif.
Begitu juga dengan b-x adalah suat jarak dan juga harus bernilai positif,
sehingga didapatkan hasil:
b – x1 = ab/(a-c) dan
b – x2 = ab/(a+c)
Jelaslah bahwa x1 dan b – x1 tidak
menghasilkan nilai positif. Oleh sebab itu pilihan hanya pada x2 = ab/(a+b). Dengan
mensubtitusikan nilai ini maka akan didapatkan persamaan panjang:
Lmin
= L(x2) = [(a + c)2 + b2]1/2
Lmin
= (122 + 142 + 102)1/2 = 26,1 meter
2. Dua buah vektor yang
panjangnya a dan b membentuk sudut Ө dan kedua pangkalnya berhimpit. Dengan
mengambil komponen-komponen sepanjang dua sumbu yang saling tegak lurus,
buktikan bahwa resultan vektor tersebut adalah:
r = (a2 + b2 + 2ab
cosӨ)1/2
Penyelesaian:
Perhatikan gambar di
bawah ini,
Dari gambar dapat
dibuat sebuah persamaan:
Hasil
akhirnya adalah:
r = (a2 + b2 + 2ab cos Ө)1/2
3. Bila N adalah
bilangan bulat yang lebih besar dari satu; maka:
Buktikanlah
kedua pernyataan tersebut dengan meninjau jumlah N buah vektor yang panjangnya
sama, dan masing-masing membentuk sudut (2phi)n/N
dengan vektor sebelumnya.
Penyelesaian:
Perhatikan
gambar rangkaian vektor berikut ini
Pada gambar ditunjukkan vektor pertama samapi
vektor terakhir dari sebuah untaian N vektor. Dengan membuat kedudukan vektor
seperti pada gambar, dan dengan mengambil komponen dari tiap-tiap sumbu x dan
y, maka didapatkan hasil:
Dengan catatan bahwa
semua vektor diperhitungkan sebagai satu satuan panjang. Sehingga vektor akan
membentuk poligon dengan N-sisi yang sama, untuk sudut luar total antara
tiap-tiap vektor satu dengan vektor yang mendahuluinya sama dengan (2phi) rad = 360o , dengan
kata lain,
Suku-suku yang berada
di dalam tanda kurung siku harus sama dengan nol. Dengan demikian dapat
diketahui:
1
= cos 0 dan 0 = sin 0
Sehingga didapatkan hasil:
0 komentar:
Post a Comment